【Shaderプログラミング】雪を降らせる手法について Part.4

年度跨ぐ際にいろいろ大変でした。
年度末に急に振られた、ノベルゲーム勉強会。

まったく、経験が無いのに教えろと言う無茶振りｗ
何とか乗り越えました。
(その方、よくプログラミング出来るみたいでしたよ。)

終わったことは、どうでもいいとして・・・
内積の説明に入りましょう。

心身ともにボロボロなパンダですｸﾏｰｰｰｰｰｰ。。。
(猫熊なので、語尾がクマでも間違いではないのだｗ)

前回のおさらい

前回は、ベクトルの足し算を図で表現することで、イメージしやすく表現してみました。
ベクトルの足し算は、量の総和です。
方向も合わせて考えることが、重要なんですよ。

【Shaderプログラミング】雪を降らせる手法について Part.3 - VR 研究記

では、ベクトルの内積に入ろうと思います。
まずは、内積を証明する前に必要な余弦定理の証明を示します。

懐かしいと思いますが、定義は以下の通りです。
$a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \theta$

パンダでも分かる余弦定理

余弦定理とは、直角三角形ではない三角形からある角度θ挟む線分の終点通しを結んだとき、その線分の長さを求める式のことです。
実際に何に使うのやら、まったく用途の分からない式ですが、まぁ通過点と思って見てくだせぇ。

点Oを原点にして、角θを挟んで広がる線分OAと線分OBがあります。
線分OA,線分OBの長さは、それぞれb, cと定義します。
線分ABの長さaを求めるために順番に解説します。

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まず、点Aから線分OBに向かって垂直なる線を引き線分OBとの交点をHとします。
線分AHの長さと線分HBの長さが分かれば、 $a^2$ が出ることは分かりますよね。

じゃあ、線分AHの長さを算出してみましょう。
下の絵の通り、三角形OAHを出してみました。

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ここで、分かっているのは、線分OAの長さbと角θのみです。
角θを使って $\sin \theta$ を計算してみましょう。

$\sin \theta = \frac{|AH|}{b}$
$|AH| = b \sin \theta$

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次に、線分HBの長さを算出したいけど、このままでは算出できないね。
線分OBの長さがcだと分かっているので、全体から、|OH|を引けば出せるかもしれないよ。

ってことで、線分|OH|を算出します。
線分OAの長さbと $\theta$ が分かるので、 $\cos \theta$ を使って以下のように表現します。

$\cos \theta = \frac{|OH|}{b}$
$|OH| = b \cos \theta$

最終的に求めたいのは、線分HBの長さで線分OBの長さはcであるから、
$|HB| = c - b \cos \theta$

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最終的な目的は、線分ABの長さaを求めることなので、三角関数の定理より
$a^2 = |HA|^2 + |HB|^2$

それぞれ、算出した長さを代入すると、こうなります。
$a^2 = (b \sin \theta)^2 + (c - b \cos \theta)^2$
これを展開して、
$a^2 = b^2 \sin^2 \theta + (c^2 + b^2 \cos^2 \theta - 2bc \cos \theta)$
$a^2 = b^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + c^2 - 2bc \cos \theta$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ より
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \theta$ 　となる。

前出の定理になりました。
この知識を踏まえて、ベクトルの内積とは何かを解剖しましょう。

パンダの内積 (パンダ関係ないぞｗ)

いよいよ本題の内積です。
これを通してイメージ掴んでくださいな

ベクトルの内積って $\vec{a}(a_1,a_2)と\vec{b}(b_1,b_2)$ があるとすると $\vec{a}・\vec{b} = (a_1 * b_1) + (a_2 * b_2)$ になるよって習いましたよね？
だから、それ何に使うの？どういう意味なの？って突込みには一切触れずに、式だけ覚えましたよね？

んじゃ、今回はそれを解き明かしましょう。

まず、 $\vec{0}$ ではない、 $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ を用意します。

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この三角形は、どこかで見ましたね？
そう、余弦定理です。
余弦定理とtの関係から内積とは『何か』を見たいと思います。

三角形OABについて、余弦定理を見てみましょう。
$\vec{|BA|}^2 = \vec{|OA|}^2 + \vec{|OB|}^2 - 2\vec{|OA|}\vec{|OB|}\cos \theta$
$(|\vec{a} - \vec{b}|)^2 = \vec{|a|}^2 + \vec{|b|}^2 - 2\vec{|a|}\vec{|b|}\cos \theta$
$(\vec{|a}|^2 + \vec{|b|}^2 - 2\vec{a}\vec{b}) = \vec{|a|}^2 + \vec{|b|}^2 - 2\vec{|a|}\vec{|b|}\cos \theta$
$(-2\vec{a}\vec{b}) = -2\vec{|a|}\vec{|b|}\cos \theta$
$\vec{a}・\vec{b} = \vec{|a|}\vec{|b|}\cos \theta$ (0≦ $\theta$ ≦180)

ここで、 $\vec{a}(a_1,a_2)と\vec{b}(b_1,b_2)$ と定義して余弦定理に代入してみましょう。
$(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 = (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2\vec{a}・\vec{b}$
$a_1^2 + b_1^2 - 2a_1b_1 + a_2^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 = (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2\vec{a}・\vec{b}$
$- 2(a_1b_1 + a_2b_2) = - 2\vec{a}・\vec{b}$
$a_1b_1 + a_2b_2 = \vec{a}・\vec{b}$ となる。